资金时间价值和复利终值与现值

    

一、资金时间价值的概念

1.定义：资金时间价值是指一定量资金在不同时点上的价值量的差额。

【提示】理解资金时间价值要把握两个要点：（1）不同时点；（2）价值量差额

 2.资金时间价值的衡量（量的规定）

理论上，资金时间价值等于没有风险、没有通货膨胀条件下的社会平均资金利润率，（纯利率）。

实际工作中，可以用通货膨胀率很低条件下的政府债券利率来表现时间价值。　

二、终值和现值的计算

1.终值又称将来值，是现在一定量的资金折算到未来某一时点所对应的价值，俗称“本利和”，通常记作“F”。

2.现值，是指未来某一时点上的一定量资金折算到现在所对应的价值，俗称“本金”，通常记作“P”。

现值和终值是一定量资金在前后两个不同时点上对应的价值，其差额即为资金的时间价值。生活中计算利息时所称本金、本利和的概念，相当于资金时间价值理论中的现值和终值，利率（用i表示）可视为资金时间价值的一种具体表现：现值和终值对应的时点之间可以划分为n期（n≥1），相当于计息期。 

【注意】终值与现值概念的相对性。

【思考】现值与终值之间的差额是什么？两者之间的差额是利息。 

三、利息的两种计算方式：

1.单利计息方式：只对本金计算利息。以本金为基数计算利息，所生利息不再加入本金滚动计算下期利息（各期的利息是相同的）。

2.复利计息方式：既对本金计算利息，也对前期的利息计算利息。将所生利息加入本金，逐年滚动计算利息的方法（各期的利息是不同的）。

【提示】除非特别指明，在计算利息的时候使用的是复利计息。 

四、复利终值与现值

1.复利终值

复利终值的计算公式为：

F＝P（1＋i）n

在上式中，（1＋i）n称为“复利终值系数”，用符号（F/P，i，n）表示。这样，上式就可以写为：

F＝P（F/P，i，n）

【提示】在平时做题时，复利终值系数可以查表得到。考试时，一般会直接给出。但需要注意的是，考试中系数是以符号的形式给出的。因此，对于有关系数的表示符号需要掌握。 

【教材例11-4】某人将100元存入银行，复利年利率2%，求5年后的终值。

解答：5年后的终值＝100×（1+2%）5 =100×（F/P，2%，5）＝110.4（元）

【注意】

（1）如果其他条件不变，在期数为1时，复利终值和单利终值是相同的。

（2）在财务管理中，如果不加注明，一般均按照复利计算。

 

2.复利现值 

复利现值的计算公式为：　　

上式中，（1＋i）-n称为“复利现值系数”，用符号（P/F，i，n）表示，平时做题时，可查表得出，考试时一般会直接给出。

【例题·计算题】某人存入一笔钱，想5年后得到10万，若银行存款利率为5%，要求计算按照复利计息，现在应存入银行多少资金？

【答案】

按照复利计息：P＝10×（1+5%）-5 =10×（P/F，5%，5）＝10×0.783＝7.83（万元）。

【结论】

（1）复利终值和复利现值互为逆运算；

（2）复利终值系数（1＋i）n和复利现值系数1/（1＋i）n互为倒数。

【提示】系数间的关系：

单利终值系数与单利现值系数互为倒数关系；

复利终值系数与复利现值系数互为倒数关系。

五、年金的终值和现值的计算（重点） 

（一）年金的含义

年金是指一定时期内每次等额收付的系列款项，通常记作A。具有两个特点：一是金额相等；二是时间间隔相等。也可以理解为年金是指等额、定期的系列收支。在现实工作中年金应用很广泛。例如，分期付款赊购、分期偿还贷款、分期发放养老金、分期支付工程款、每年相同的销售收入等，都属于年金收付形式。 

（二）年金的种类

年金按其每次收付款项发生的时点不同，可以分为四种：

普通年金（后付年金）：从第一期开始每期期末收款、付款的年金。

预付年金（先付年金、即付年金）：从第一期开始每期期初收款、付款的年金。与普通年金的区别仅在于付款时间的不同。

递延年金：从第二期或第二期以后开始每期期末收付的年金。

永续年金：无限期的普通年金。

注意：各种类型年金之间的关系 

（1）普通年金和即付年金

区别：普通年金的款项收付发生在每期期末，即付年金的款项收付发生在每期期初。

联系：第一期均出现款项收付。

【例题·单选题】2007年1月1日，甲公司租用一层写字楼作为办公场所，租赁期限3年，每年12月31日支付租金10万元，共支付3年。该租金有年金的特点，属于（    ）。

A.普通年金           B.即付年金            C.递延年金           D.永续年金

【答案】A

【解析】从第一期开始每期期末收款、付款的年金是普通年金。

（2）递延年金和永续年金

二者都是在普通年金的基础上演变而来的，它们都是普通年金的特殊形式。它们与普通年金的共同点有：它们都是每期期末发生的。区别在于递延年金前面有一个递延期，也就是前面几期没有现金流，永续年金没有终点。

在年金的四种类型中，最基本的是普通年金，其他类型的年金都可以看成是普通年金的转化形式。

【提示】

1.这里的年金收付间隔的时间不一定是1年，可以是半年、一个季度或者一个月等。

2.这里年金收付的起止时间可以是从任何时点开始，如一年的间隔期，不一定是从1月1日至12月31日，可以是从当年7月1日至次年6月30日。

【例题·判断题】年金是指每隔一年，金额相等的一系列现金流入或流出量。（　  ）

【答案】×

【解析】在年金中，系列收付款项的时间间隔只要满足“相等”的条件即可。注意：如果本题改为“每隔一年，金额相等的一系列现金流入或流出量，是年金”则是正确的。即间隔期为一年，只是年金的一种情况。

（三）年金的计算

1.普通年金终值的计算

普通年金终值是指一定时期内，每期期末等额收入或支出的本利和，也就是将每一期的金额，按复利换算到最后一期期末的终值，然后加总，就是该年金终值。

例如：每年年末存款1元，年利率为10%，经过5年，逐年的终值和年金终值，可计算如下：

1元1年的终值=1.000元（因为年末存入）

　　1元2年的终值=1×(1+10%)1=1.100(元)

　　1元3年的终值=1×(1+10%)2=1.210(元)

　　1元4年的终值=1×(1+10%)3=1.331(元)

　　1元5年的终值=1×(1+10%)4=1.464(元)

然后加总，1元年金5年的终值=6.105(元)

 

如果年金的期数很多，用上述方法计算终值显然相当繁琐。由于每年支付额相等，折算终值的系数又是有规律的，所以，可找出简便的计算方法。

设每年的支付金额为A，利率为i，期数为n，普通年金终值的计算公式：

式中， 称为“年金终值系数”，记作（F/A，i，n），平时做题可查表得到，考试时，一般会直接给出该系数。

注意：年金终值系数=（复利终值系数-1）/i

 

【教材例11-5】（P321）小王是位热心于公众事业的人，自1995年12月底开始，他每年都要向一位失学儿童每年捐款1000元，帮助这位失学儿童从小学一年级读完九年义务教育。假设每年定期存款利率都是2%，则小王9年的捐款在2003年年底相当于多少钱？

【提示1】该题目要求计算的是年金终值；已知每期等额的系列支付计算最终的金额。

【提示2】由于期数太多，直接用普通年金终值系数计算简单。

解答：F=A×[（1+i）n-1]/i=1000×[（1+2%）9-1]/2%=9754.6（元）

或者：F=A×（F/A ，2% ， 9）=1000×9.755=9754.6（元）

注：9.755 是通过查表计算出来的。

 

2.普通年金现值的计算 

普通年金的计算实际上就是已知年金A，求普通年金现值P。

P=A× =A×（P/A，i，n ）

式中， 称为“年金现值系数”，记作（P/A，i，n），平时做题可查表得到，考试时，一般会直接给出该系数。

【教材例11-8】（P323）某投资项目于2000年初动工，设当年投产，从投产之日起每年可得收益40000元。按年利率6%计算，计算预期l0年收益的现值。

解答：P=40000×[1-（1+6%）-10]/6%

=40000×（P/A，6%，l0）

=40000×7.3601

　　  =294404（元）

复利现值系数、复利终值系数、年金现值系数、年金终值系数一方面是通过计算公式计算出来的，另一方面是通过查表得出来的(针对考试的时候期数比较多的话题目会直接给出计算的表)。
（P/F， 5% ，5）=0.783

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（责任编辑：张晓轩）